Taką możliwość synchronizacji wszystkich folderów skrzynki pocztowej daje tylko protokół IMAP. Możesz włączyć w koncie Gmail obsługę tego protokołu i to samo zrobić w The Bat! - ale uprzedzam, że The Bat! niezbyt dobrze radzi sobie z serwerami IMAP. To się zapewne zmieni, bo w wersji 5, która w bliżej nieokreślonym czasie pojawi się na rynku, obsługa IMAP ma być całkowicie napisana od nowa.
Spróbuj skonfigurować dwa konta w The Bat! obsługujące GMail: jedno z dostępem przez POP3 i drugie przez IMAP4. Na tym z obsługą POP3 nie będziesz widział wiadomości wysłanych z telefonu, ale za to będziesz miał lokalnie to co pobierzesz z serwera GMail. Na koncie IMAP będzie działać lepiej lub gorzej synchronizacja z serwerem - wiadomości będą jednak pozostawać na serwerze, o ile ich stamtąd nie usuniesz.
Podsumowując: pomysł z telefonem raczej dobry, ale dopiero obsługa poczty przez IMAP da Ci to czego chciałeś.